Những điều cần biết về phương trình tương đương trong đại số

Phương trình tương đương là hệ phương trình có cùng nghiệm. Việc xác định và giải phương trình tương đương là một kỹ năng có giá trị, không chỉ trong lớp đại số mà còn trong cuộc sống hàng ngày.

Dưới đây là ví dụ về phương trình tương đương, cách giải chúng cho một hoặc nhiều biến và cách bạn có thể sử dụng kỹ năng này bên ngoài lớp học.

Phương trình tương đương có 1 biến

Các ví dụ đơn giản nhất về phương trình tương đương không có bất kỳ biến số nào. Ví dụ, ba phương trình này tương đương với nhau:

Thông thường, bài toán phương trình tương đương yêu cầu bạn giải một biến để xem nó có giống (cùng căn bậc hai) với biến trong phương trình khác không.

Ví dụ, các phương trình sau đây tương đương:

Trong cả hai trường hợp, x = 5. Làm sao chúng ta biết được điều này? Làm sao bạn giải phương trình “-2x = -10”? Bước đầu tiên là phải biết các quy tắc của phương trình tương đương:

Ví dụ

Áp dụng các quy tắc này vào thực tế, hãy xác định xem hai phương trình này có tương đương hay không:

Để giải phương trình này, bạn cần tìm “x” cho mỗi phương trình. Nếu “x” giống nhau cho cả hai phương trình, thì chúng tương đương. Nếu “x” khác nhau (tức là các phương trình có các nghiệm khác nhau), thì chúng không phải phương trình không tương đương. Đối với phương trình đầu tiên:

Đối với phương trình thứ hai:

Vì vậy, hai phương trình tương đương vì x = 5 trong mỗi trường hợp.

Các phương trình tương đương thực tế

Bạn có thể sử dụng những phương trình tương đương trong cuộc sống hàng ngày. Nó đặc biệt hữu ích khi mua sắm. Ví dụ, bạn thích một chiếc áo sơ mi nào đó. Một công ty bán chiếc áo sơ mi với giá 6 đô la và phí vận chuyển là 12 đô la, trong khi một công ty khác bán chiếc áo sơ mi với giá 7,50 đô la và phí vận chuyển là 9 đô la. Chiếc áo sơ mi nào có giá tốt nhất? Bạn sẽ phải mua bao nhiêu chiếc áo sơ mi để giá của cả hai công ty bằng nhau?

Để giải quyết vấn đề này, hãy cho “x” là số lượng áo sơ mi. Để bắt đầu, hãy đặt x = 1 cho lần mua một chiếc áo sơ mi. Đối với công ty số 1:

Đối với công ty số 2:

Vì vậy, nếu bạn mua một chiếc áo sơ mi, công ty thứ hai sẽ có giá tốt hơn.

Để tìm điểm mà giá bằng nhau, hãy để “x” là số lượng áo, nhưng đặt hai phương trình bằng nhau. Giải “x” để tìm số lượng áo bạn phải mua:

Nếu mua hai chiếc áo, giá sẽ như nhau, bất kể bạn mua ở đâu. Bạn có thể sử dụng cùng một phép toán để xác định công ty nào cung cấp mức giá tốt hơn với các đơn hàng lớn hơn và cũng để tính toán xem bạn sẽ tiết kiệm được bao nhiêu khi so sánh giá giữa hai công ty.

Phương trình tương đương với hai biến

Nếu có hai phương trình và hai ẩn số (x và y), bạn có thể xác định xem hai tập hợp phương trình tuyến tính có tương đương hay không.

Ví dụ, nếu bạn được cung cấp các phương trình:

Bạn có thể xác định xem hệ thống sau có tương đương hay không:

Để giải bài toán này, hãy tìm “x” và “y” cho mỗi hệ phương trình. Nếu các giá trị giống nhau, thì các hệ phương trình tương đương.

Bắt đầu với tập hợp đầu tiên. Để giải hai phương trình có hai biến, hãy cô lập một biến và đưa nghiệm của nó vào phương trình kia. Để cô lập biến “y”:

Bây giờ, thay “y” trở lại bất kỳ phương trình nào để giải “x”:

Làm theo cách này, cuối cùng bạn sẽ có x = 7/3.

Để trả lời câu hỏi, bạn có thể áp dụng các nguyên tắc tương tự cho bộ phương trình thứ hai để giải “x” và “y” để thấy rằng đúng là chúng tương đương nhau.

Tuy nhiên, học sinh thông minh sẽ nhận thấy hai bộ phương trình tương đương mà không cần thực hiện bất kỳ phép tính khó nào. Điểm khác biệt duy nhất giữa phương trình đầu tiên trong mỗi bộ là phương trình đầu tiên gấp ba lần phương trình thứ hai (tương đương). Phương trình thứ hai hoàn toàn giống nhau.